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【科学讲座】席南华:理解数学

    2018年11月20日晚上7点,中国科学院大学科学前沿进展名家系列讲座Ⅰ第80讲在玉泉路校区礼堂如期举行。中科院院士,中科院数学与系统科学研究院研究员,现任中科院数学与系统科学研究院院长、国科大数学学院院长席南华院士为同学们带来题为“理解数学”的讲座。

从一个小故事开始,席老师将他对理解数学的灵感娓娓道来:某次国际会议上与一名外国数学家的交流,那位数学家没有介绍自己的研究领域,而是介绍了自己对数学的理解。这在席老师心中激起极大的波澜,理解而非研究,体现了数学家对于数学的敬畏;理解数学,是席老师对数学的态度。

“怎样理解数学?怎样掌握数学的思维方式?什么东西对于数学是基本的?什么样的问题是好问题?”一连抛出了四个问题后,席老师提出了一些观点:“数学的美感,对象之间的逻辑联系;基本的对象,如素数、基本的形、基本的结构等;典型的定理、优美的计算和证明指向更深和更远的问题”并逐一用例子解释这些观点。

席老师从素数讲起,素数有无穷个,这个基本定理数学家Euclid和Euler分别用不同方式给出证明;13年华人数学家张益唐证明了存在严格递增的无穷素数列P1,Q1,P2,Q2,…,Pn,Qn,…。使得对一切正整数有qі-pi<7х10^7,在国际数学界引起极大轰动。随后席老师为同学们介绍黎曼ζ函数,有著名的黎曼猜想: ζ(s)的非平凡零点的实部都是1/2 ,它在偶的负整数处有零点,称为平凡零点。黎曼函数的一个应用就是证明素数定理。

紧接着,席老师开始讲计数:集合分为有限集和无限集,集合之间可以通过映射来关联,我们称集合A和B等势如果它们之间一一映射。整数全体与自然数全体等势, 实数全体与复数全体等势,一个无限集称为可数的如果它与自然数全体等势。这些概念与同学们最近学的线性代数息息相关,激起同学们浓厚的兴趣。

随后,席老师讲起不完备性定理:一个无矛盾的公理化理论如果包含算术公理体系,那么在这个理论中存在一个陈述句,其真假不能在这个理论中判断。一个公理化理论如果包含算术公理体系,当它无矛盾时,其无矛盾性不能由这个理论自身证明。看似拗口的两句话却撑起数学证明的大厦。比如,连续统假设(Cantor)“势比自然数·全体的势大而比实数全体的势小的集合不存在。”由该定理认为与Zermelo-Fraenkel集合论无矛盾,但由定理(Cohen):连续统假设之否 ,与Zermelo-Fraenkel集合论无矛盾。

“群论为数学打开新的篇章。”席老师对群论十分推崇。那什么是群呢?集合G称为一个群如果它有一个二·元运算,满足结合律,有一个单位元素,每个元素都有逆元。比如: 整数集对于加法成为群,单位元是0.非零有理数全体对于乘法为群,n阶可逆实方阵对于矩阵乘法为群。对于解方程,一元高次方程要依赖于群论,多元一次方程则求助于矩阵理论。著名的费马大定理(Wiles)曾引起无数后人呕心沥血竞相证明,对解方程也有独到的见解:如果n>3,则方程x^n+y^n=z^n无非平凡的整数解.即如果x,y,z是整数解,则xyz=0。而解方程组多利用笛卡尔的解析几何方法:二元一次方程对应直线,三元一次方程对应平面,二元二次方程对应圆锥曲线。

在最后的问答环节,同学们都十分踊跃,向席老师提出各个方面的问题,席老师也一一回应,给出精妙的解答,引起全场一阵阵的掌声。席老师强调提出问题的能力很重要,并且鼓励同学们认真学习,将来为中国的科学发展作出贡献。在热烈掌声中,本场讲座圆满落幕。(文/李聪仪  图/伊力哈木江•伊拉木江  作者系国科大记者团成员)

席南华院士为同学们做精彩报告

延伸阅读:

“科学前沿进展名家系列讲座”创办于2014年9月,是中国科学院大学为本科生开设的必修课程,同时欢迎研究生与教职工参加,由中国科学院大学本科部主办,讲座召集人为徐涛院士。该课程按照数学、物理、化学等13个专业,邀请相关科学领域的院士等知名专家开展专题讲座。通过讲述科学故事、介绍相关学科方向的科学前沿进展,让学生在本科阶段了解不同学科的科研方向与主要进展,拓宽学生的学术视野,为他们最终选择学科专业与专业方向提供丰富的判断依据。